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Perché il cielo è azzurro?

Perché il cielo è azzurro? E perché la sera, al tramonto, il sole appare rosso? Prima o poi ogni bambino porrà ai propri genitori queste domande. Onde evitare di fare brutte figure è bene non farsi trovare impreparati! Dietro questi semplici quesiti si cela un mondo di fisica. Iniziamo, come sempre, con un po’ di teoria.

Il meccanismo alla base di tutto è la diffusione (scattering) di un’onda elettromagnetica incidente su un atomo. Per capire in cosa consiste trattiamo il caso più semplice, quello dell’atomo di idrogeno. Usiamo un modello atomico di tipo classico, nel quale trattiamo il moto dell’elettrone come un oscillatore armonico smorzato. In assenza di forze esterne si ha

 m (\ddot{\mathbf{x}} + \gamma \dot{\mathbf{x}}+\omega_0^2 \mathbf{x}) = \mathbf{0}

dove  m è la massa dell’elettrone, γ la costante di smorzamento e ω0 è la pulsazione naturale di oscillazione.

La forza che esprime l’interazione tra campo elettromagnetico e carica elettrica di modulo e è la forza di Lorentz. In formula

 \mathbf{F_L} = e (\mathbf{E} + \mathbf{v} \times \mathbf{B})

Inserendo questa espressione della forza all’interno del nostro modello si ottiene la seguente equazione del moto

 m (\ddot{\mathbf{x}} + \gamma \dot{\mathbf{x}}+\omega_0^2 \mathbf{x}) = e(\mathbf{E} + \mathbf{v} \times \mathbf{B})

Facciamo adesso le seguenti approssimazioni:

-          Trascuriamo il contributo all’irraggiamento del nucleo, avente massa molto maggiore di quella dell’elettrone;

-          Trattiamo il caso delle piccole oscillazioni in cui l’ampiezza di oscillazione è molto minore della lunghezza atomica caratteristica;

-          Eseguiamo un’analisi non relativistica (approssimazione di campi deboli) nella quale il termine \mathbf{v}\times\mathbf{B} risulta essere trascurabile rispetto agli altri.

Supponiamo che l’onda sia in moto lungo l’asse x, con il campo elettrico diretto lungo l’asse z.  Il campo elettrico dell’onda si può scrivere come

 \mathbf{E} = \mathbf{E_o} e^{i\mathbf{k}\mathbf{x} - i\omega t}

La nostra equazione diventa allora 

 m (\ddot{z} + \gamma \dot{z}+\omega_0^2 z)\hat{\mathbf{z}} = e(E_0\hat{\mathbf{z}}e^{ikx-i\omega t})

Il termine e^{ikx} può essere reso uguale a 1 spostando l’origine degli assi (il moto si svolge lungo l’asse z). Cercando una soluzione esponenziale del genere z = z_0 e^{-i\omega t} si ottiene

 z_0 = \frac{eE_0}{m} \frac{1}{\omega_0^2 -i\omega t - \omega^2}

Il momento di dipolo indotto è dato da

 \mathbf{p}(t) = e z_0 \hat{\mathbf{z}} e^{i\omega t}

Per semplicità supponiamo di trovarci fuori risonanza  \omega \ne \omega_0 e di poter trascurare il termine in γ.

Derivando due volte il momento di dipolo rispetto al tempo e inserendo il risultato ottenuto nella formula di Larmor della potenzia totale irraggiata mediata su un periodo

\left\langle P_{tot}\right\rangle=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{\left | \ddot{p} \right |^2}{3c^3}

Si ricava  

\left\langle P_{tot}\right\rangle=\frac {1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{e^4E_0^2}{3m^2c^3} \frac{\omega^4}{(\omega_0^2 - \omega^2)^2}

Definiamo ora la sezione d’urto del processo in esame come il rapporto fra la potenza irraggiata <Ptot> e il flusso di energia elettromagnetica incidente dato dal modulo del vettore di Poynting |S|

\sigma = \frac{\left \langle P_{tot} \right \rangle}{\left | S \right |}

\left | S \right | =\epsilon_0 c^2\left | \mathbf{E}\times \mathbf{B} \right | = \epsilon_0 c \frac{E_o^2}{2}

La sezione d’urto, che è dimensionalmente uguale ad un’area, è una grandezza che quantifica la probabilità che si verifichi il processo in questione. Nel nostro caso

 \sigma = \frac{1}{6\pi\epsilon_0^2} \frac{e^4}{m^2c^3}\frac{\omega^4}{(\omega_0^2-\omega^2)^2}

Adesso abbiamo finalmente tutti gli elementi per poter rispondere alle domande che ci eravamo posti all’inizio. L’atmosfera terrestre è composta da un numero enorme di atomi che diffondono la luce proveniente dal sole proprio come nel modello studiato. Ovviamente, per facilitare la trattazione, abbiamo dovuto fare delle approssimazioni le quali, ad ogni modo, portano ad un risultato consistente. Inoltre l’idrogeno che abbiamo studiato non è affatto l’elemento più abbondante della nostra atmosfera. Per questo, nel caso reale, saranno presenti varie frequenze di eccitazione che entreranno nel denominatore della nostra sezione d’urto. Nonostante ciò si verifica come queste frequenze proprie degli atomi siano molto più grandi della frequenza dell’onda incidente (luce visibile). Perciò, essendo \omega_0 \gg \omega , è possibile trascurare la ω presente al denominatore della sezione d’urto, ottenendo così

 \sigma \approx \frac{1}{6\pi\epsilon_0^2}\frac{e^4}{m^2c^4}\frac{\omega^4}{\omega_0^4}

Ricordando il significato della sezione d’urto questo significa che la luce incidente viene diffusa con una “probabilità” dipendente dalla quarta potenza della frequenza. Pertanto il blu, avendo nel visibile una frequenza più alta rispetto a quasi tutti gli altri colori, verrà diffuso in maniera molto più consistente fornendo al cielo il caratteristico colore azzurro. Questo fenomeno è noto come diffusione di Rayleigh.

Ho scritto quasi. Sì, perché il violetto risulta avere nello spettro elettromagnetico una frequenza maggiore. Ma allora perché il cielo non appare violetto?

barzelletta cielo

Analizzando lo spettro della luce del cielo si rileva, infatti, una quantità di energia circa uguale nel blu e nel violetto. I colori che noi vediamo, però, non sono determinati solo dalle leggi della fisica ma, anche, dalla percezione del nostro sistema visivo. Allo stesso modo secondo cui un giusto mix di verde e rosso viene avvertito come giallo, la miscela di violetto e blu eccita i coni dell’occhio umano, in maniera indistinguibile, come lo farebbe una miscela di luce blu e bianco puro (Smith, American Journal of Physics).

Con uno sforzo minimo possiamo rispondere anche alla seconda domanda: perché il sole, al tramonto è rosso? Quando il sole è basso sull’orizzonte i raggi luminosi sono radenti e per arrivare a noi devono attraversare un tratto di atmosfera molto maggiore rispetto a quando il sole è allo zenit. Questo fa sì che, a causa del maggiore quantitativo di molecole incontrate, la luce inizialmente bianca perda per diffusione gran parte del blu, del viola e del verde. Il sole, privato di queste componenti come in un filtro, apparirà quindi di un colore arancio-rosso.

Infine un’ultima curiosità per concludere la nostra discussione: come si presenterebbe il cielo se non fosse costituito da atomi discreti ma fosse un mezzo continuo?

Se prendiamo in considerazione N atomi e, vista la disposizione casuale, mediamo statisticamente i termini di interferenza a zero,  si può scrivere la sezione d’urto totale come

\sigma_{tot} = N \sigma

Eseguiamo adesso il limite al continuo. In particolare, introducendo un parametro k che manderemo poi all’infinito si ha

 N \to k N

m\to \frac{m}{k}

e \to \frac{e}{k}

Consideriamo quindi ogni atomo come se fosse costituito da k parti. Inserendo queste relazioni nella sezione d’urto totale si ottiene

N\sigma \to kN \sigma = kN \frac{(\frac{e}{k})^4}{6\pi\epsilon_0(\frac{m}{k})^2c^4}\frac{\omega^4}{(\omega_0^2 - \omega^2)^2} \propto \frac{1}{k}

Nel limite per k che tende all’infinito la sezione d’urto si annulla e, di conseguenza, il cielo apparirebbe nero. È grazie agli atomi, quindi, se possiamo godere ogni giorno di un magnifico cielo azzurro!

  • Matteo

    Articolo stupendo. Molto accurato, oltre che simpatico ed estremamente interessante. Continuerò con piacere a seguire questo sito!

    • Niccolò

      Grazie!