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In cerca di materia oscura

Secondo il modello ΛCDM la materia oscura costituirebbe circa il 23% dell'energia e circa l'85% della massa dell'Universo. Ma come mai viene ipotizzata la sua esistenza? Cos'è la dark matter? Partendo da concetti semplici arriveremo al termine del percorso volto alla ricerca della materia oscura ad ipotizzarne la presenza. Andiamo con ordine.

"Dark matter provides a further reminder that we humans are not essential to the Universe. Ever since Copernicus and others suggested that the Earth was not the centre of the Universe, humans have been on a slide away from cosmic significance. At first we were not at the centre of the Solar System, and then the Sun became just another star in the Milky Way, not even in the centre of our host Galaxy. By this stage the Earth and its inhabitants had vanished like a speck of dust in a storm. This was a shock. In the 1930s Edwin Hubble showed that the Milky Way, vast as it is, is a mere ‘island Universe' far removed from anywhere special; and even our home galaxy was suddenly insignificant in a sea of galaxies, then clusters of galaxies. Now astronomers have revealed that we are not even made of the same stuff as most of the Universe. While our planet - our bodies, even - are tangible and visible, most of the matter in the Universe is not. Our Universe is made of darkness." ("In search of dark matter" Freeman, Mcnamara).

Prendendo inizialmente in considerazione una sfera rigida rotante attorno ad un asse passante per il centro, si nota come la velocità tangenziale di un elemento infinitesimo di massa, posto a distanza d dall’asse segua la legge

v = \omega \cdot d

La velocità è quindi direttamente proporzionale alla distanza dall’asse di rotazione.

Se, introducendo la gravità, studiamo il moto dei pianeti in rivoluzione attorno al Sole notiamo una prima grande differenza: la velocità angolare non si mantiene costante al variare della distanza dal centro. Il sistema solare segue, infatti, la terza legge di Keplero la quale afferma

 \frac{r^3}{T^2} \propto M_{sun}

Sapendo però che, approssimando le orbite dei pianeti a circolari,

 v = \frac{2\pi r}{T}

si deriva

v \propto \frac{1}{r}

Questa relazione si può ricavare anche applicando la legge di gravitazione universale di Newton. Supponendo, infatti, che la forza centripeta necessaria per mantenere l’orbita attorno al Sole sia data dalla forza gravitazionale si ottiene

 \frac{mv^2}{r} = G \cdot \frac{mM}{r^2}

ovvero

 v^2 = G \cdot \frac{M}{r}

La velocità tangenziale di rotazione è perciò inversamente proporzionale alla radice quadrata del raggio dell’orbita.

Curva di rotazione del sistema solare

Analizziamo adesso il moto delle stelle e del gas all’interno di una galassia a spirale. Il contributo gravitazionale può essere decomposto in due parti:

-          Il bulge o core della galassia, un rigonfiamento sferico (o ellittico) dove è presente la massima densità di materia luminosa;

-          Il disco galattico, che ospita la restante parte delle stelle, con una luminosità (e quindi densità) che decade esponenzialmente con la distanza dal centro.

Milky way

Il sole, come le altre stelle, ruota attorno al centro della galassia. Come prima, per semplicità, facciamo l’approssimazione di orbite circolari e studiamo nelle varie zone della galassia i due contributi alla forza di gravità.

Data la dipendenza dal raggio della forza gravitazionale ( r^{-2}), in analogia all’elettromagnetismo (teorema di Gauss) in simmetria sferica solo la porzione di materia interna alla traiettoria sarà importante. Per un raggio dell’orbita interno al bulge, supponendo una densità sferica uniforme e tralasciando per un momento il contributo del disco, la massa contenuta a distanza r è

 M(r) = M_0 \cdot \left(\frac{r}{R_0}\right)^3

dove M0 e R0 sono rispettivamente la massa e il raggio del bulge. Inserendo questa relazione all’interno della legge di Newton si ricava, per la velocità tangenziale di rotazione

 v(r) = \sqrt{\frac{G\cdot M_0}{R_0}} \cdot \frac{r}{R_0}

Per un raggio esterno al core la massa contenuta è costante e, utilizzando la stessa relazione, si ottiene

 v(r) = \sqrt{\frac{G\cdot M_0}{r}}

Il moto dovuto al bulge è quindi, nel primo caso, analogo alla sfera rigida con dipendenza lineare dal raggio e, nel secondo caso, affine al moto kepleriano dei pianeti.

Curva di rotazione di una galassia a spirale, contributo del bulge

Considerando adesso il contributo del disco esponenziale e ipotizzando una distribuzione di massa σ(r) proporzionale alla distribuzione di luminosità

\sigma(r) = \sigma_0 e^{\frac{-r}{R}}

si trova una relazione più complessa ma con lo stesso andamento asintotico.

Curva di rotazione di una galassia a spirale, contributo del disco

Alla luce delle considerazioni fatte ci aspettiamo, in definitiva, che la distribuzione delle velocità di rotazione cresca molto rapidamente per piccole distanze, abbia un massimo e poi tenda a zero per grandi distanze.

Lo spostamento Doppler è un fenomeno fisico secondo il quale se la sorgente dell'onda (in questo caso la galassia) e il ricevitore (la Terra) sono in movimento relativo la frequenza rilevata sarà "spostata" rispetto a quella di emissione.

Effetto Doppler

In particolare, al primo ordine di approssimazione relativistica si ha che

\Delta f = f_0\left(\frac{\Delta v}{c}\right)

La frequenza rilevata sarà maggiore per sorgente in avvicinamento (blueshift) e minore per sorgente in allontanamento (redshift). Sfruttando, quindi, l'effetto Doppler è possibile avere indicazioni sul moto di un corpo celeste.

Nel 1970 Vera Rubin misurò, con uno spettrometro molto sensibile, lo spostamento Doppler della riga di emissione dell’idrogeno neutro a 21.1 cm (struttura iperfine) della galassia a spirale NGC 4414 e ne ricavò la curva di rotazione. L’emissione a 21.1 cm, dovuta alla transizione quantistica dell’idrogeno da spin protone-elettrone paralleli ad antiparalleli, ha il vantaggio, a differenza della luce visibile, di non subire attenuazioni  attraversando le polveri interstellari. Inoltre le nubi di idrogeno hanno una distribuzione spaziale più esterna rispetto alle stelle e questo permette lo studio dei moti dei corpi in orbita a distanze superiori. La curva di rotazione osservata sperimentalmente da Rubin differisce molto da quella attesa.

Distribuzione di materia oscura

In particolare la velocità dei corpi celesti non tende a zero per grandi distanze ma, contrariamente al nostro modello di galassia, si mantiene costante. Tale diversità rende evidente l’esistenza di qualcosa che abbiamo tralasciato nella nostra descrizione. Se la massa che esercita l’attrazione gravitazionale fosse solo quella luminosa le stelle avrebbero una velocità troppo elevata per essere mantenute in orbita dalla forza gravitazionale e la galassia si disperderebbe in poco tempo. Deve esserci, quindi, un contributo non luminoso (oscuro) alla massa la cui presenza si aggiunge alla componente luminosa: la dark matter. È possibile così spiegare la curva di rotazione rilevata. Ipotizzando un alone di materia oscura a simmetria sferica si verifica che la massa inclusa in un’orbita di raggio r deve essere proporzionale a questo. Infatti, in questo modo, la velocità asintotica risulta essere costante.

v^2 = G \cdot \frac{M_0 r}{r} \sim cost

Se questa materia fosse visibile l’aspetto della galassia sarebbe perciò completamente diverso da come lo vediamo con l’alone oscuro che si estende per oltre 30-40 kpc e il cui contributo alla massa oscillerebbe, da galassia a galassia, tra 5 a 100 volte la materia luminosa visibile.

Alone oscuro